Proporção áurea - Submundo Periférico

Introdução

Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea ou proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional.
Ela é representada pela letra grega Φ (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), podendo também que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias.
Também é chamada de seção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência.
Desde a Antiguidade, a proporção áurea é usada na arte. Este número está envolvido com a natureza do crescimento.

Sumário

Introdução
Matemática
Pitagóricos
Natureza
Artes
Bruxaria
Referências

Proporção áurea explicada por Pato Donald no Mundo da Matemática.

Matemática

Dois valores positivos estão em razão áurea se sua razão é igual à razão da sua soma pela maior das quantidades. Algebricamente, dados a e b, onde a > b > 0, então:

“Um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo.”
Definição da divisão em média e extrema razão de Euclides (Livro VI de Os Elementos).

Sequência de Fibonacci

A razão áurea está presente na fórmula do termo geral da Sequência de Fibonacci, Sucessão de Fibonacci ou Série de Fibonacci que é uma sequência de números inteiros, começando normalmente por 0 e 1, na qual cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores.
A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa ou Leonardo Fibonacci, mais conhecido por apenas Fibonacci, que descreveu na obra Liber Abaci ou Livro do Ábaco (1202) o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta. Esse livro foi resultado de estudos de Fibonacci com matemáticos sírios, gregos e egípcios. Esta sequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade por gregos e indianos.
Liber Abaci foi um dos primeiros livros ocidentais a descrever os algarismos arábicos, introduzindo na Europa a numeração árabe (em substituição a numeração romana) e esclarecendo o funcionamento desta numeração e do zero.
A ideia era responder: Quantos pares de coelhos existirão daqui a um ano?

Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂, onde a sequência inicial F₁ = 1 e F₂ = 1.
Fórmula da Sequência de Fibonacci

Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
- No primeiro mês nasce apenas um casal;
- Casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida;
- Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
- Todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal; e
- Os coelhos nunca morrem.

Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência:0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, … .
É importante destacar que a sequência de Fibonacci é infinita. Portanto, o ideal é que você defina um valor que tenha como objetivo e, ao alcançar esse objetivo, você decida uma nova meta para alcançar.
Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.
Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é conhecida como a sequência de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potências.

{\displaystyle F(n)={\frac {\phi _{+}^{n}-\phi _{-}^{n}}{\phi _{+}-\phi _{-}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]} — Fórmula da Sequência de Fibonacci com Proporção Áurea.

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do n-ésimo termo da Série de Fibonacci pelo termo anterior, sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for n. Por exemplo:

Triângulo de Pitágoras

O triângulo de Pitágoras é um triângulo retângulo, ou seja, um dos seus ângulos é reto, mede 90°. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e os lados próximos ao ângulo reto são os catetos. No triângulo retângulo o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos, que é o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²).
Apesar de ser creditada a demonstração disso para Pitágoras, existem suspeitas que os matemáticos babilônicos já tinham métodos para realizar essas medidas.
Em um triângulo retângulo onde um dos catetos é a metade do outro, existe um ponto no cateto maior que o divide em média e extrema razão e pode ser construído com régua e compasso. Se o cateto BC é metade do cateto AB. Então o ponto E divide o cateto AB em média e extrema razão e pode ser obtido descrevendo apenas dois arcos de circunferência.

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal ou triângulo de Tartaglia é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais, onde cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.
O triângulo de Pascal e o triângulo de Pitágoras também se relacionam com a sequência de Fibonacci que, por sua vez, tem relação com a razão áurea.

Triângulo áureo

Um triângulo de ouro, triângulo áureo ou triângulo sublime é um triângulo isósceles, ou seja, possui dois lados com a mesma medida, no qual a divisão do comprimento de um dos lados iguais pelo da base é o número de ouro:

A divisão do do lado maior, pelo menor, resulta no número áureo. Assim, traçando-se uma bissetriz (semirreta que divide ao meio em dois ângulos congruentes) em um de seus dois ângulos de 72°, surge um novo triângulo, semelhante ao maior, e repetindo a operação, isso acontece infinitas vezes, assim como o retângulo áureo.

Os ângulos de um triângulo de ouro medem 36°, 72° e 72°. Outras formas geométricas são compostas por triângulos de ouro.

Retângulo áureo

O retângulo de ouro é formado pela divisão em média e extrema razão de Euclides. Ele é assim chamado porque ao dividir-se a base desse retângulo pela sua altura, obtêm-se o número de ouro.

Espiral áurea

A espiral áurea é uma espiral logarítima cujo fator de crescimento é a proporção áurea. A espiral áurea fica mais larga por um fator de proporção áurea para cada quarto de volta que dá.

As espirais douradas são autossimilares. A forma é repetida infinitamente quando ampliada.

Pitagóricos

Os primeiros filósofos gregos, chamados de pré-socráticos tinham como preocupação a cosmologia, ou seja, como o universo era formado, buscando por argumentos lógicos e não mitológicos. Perguntas comuns entre os pré-socráticos são: Como surgiu o universo a partir do caos? Qual era o elemento que formava todas as coisas?
Devido ao assunto que trazemos hoje, eu apresento Pitágoras de Samos (em grego: Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, ou apenas Πυθαγόρας; Πυθαγόρης em grego jônico; Samos, cerca 570 – Metaponto, cerca 495 AEC) que foi um filósofo pré-socrático e matemático grego jônico creditado como fundador do movimento chamado Pitagorismo, onde seus adeptos eram os pitagóricos. Para eles, o universo tinha como elemento fundamental os números.
Na sua maioria, as informações sobre Pitágoras foram escritas séculos depois da sua morte, de modo que há pouca informação confiável sobre ele. Nasceu na ilha de Samos e viajou pelo Egito e pela Grécia. Em 520 AEC voltou a Samos. Cerca de 530 AEC, mudou-se para Crotona, na Magna Grécia.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números – para eles o número (sinônimo de harmonia) era considerado como essência das coisas – é constituído então da soma de pares e ímpares, noções opostas (limitado e ilimitado) respectivamente números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação. Teriam chegado à concepção de que todas as coisas são números.
Os pitagóricos se dispersam e passam a atuar amplamente no mundo helênico, levando a todos os setores da cultura o ideal de salvação do homem e da pólis através da proporção e da medida.
Representação geométrica dos elementos:

“… o princípio das matemáticas é o princípio de todas as coisas…”
Pitágoras de Samos.

O pentagrama, ou pentágono estrelado tornou-se símbolo da Escola Pitagórica, e era uma figura envolvida em misticismo. Em um pentágono regular as diagonais se cruzam, formando um novo pentágono interno. A interseção de duas diagonais divide-as de uma forma especial, chamada razão áurea. Este valor é chamado de “número de Ouro”.

Pentagrama era símbolo da Escola Pitagórica possui a divina proporção, razão áurea. Segmentos do pentagrama estão na proporção áurea, como mostra a figura. O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.

Leia mais sobre os pré-socráticos aqui.

Natureza

Na natureza, o padrão de crescimento dos seres vivos seguem simetrias ou são assimétricos (esponjas). Quando falamos dos simétricos, que são aqueles que podem ser divididos em partes semelhantes, eles podem possuir:
- Simetria esférica – Onde qualquer plano que passe pelo centro da esfera gera partes iguais. Não é presente em animais, mas é presente em seres vivos como plantas e fungos;
- Simetria radial – Onde os planos que passam pelo centro formam partes iguais apenas em sentido longitudinal, tendo uma porção anterior e posterior diferentes se cortar em um plano transversal. Exemplo: Equinodermos como a estrela-do-mar, e cnidários como a anênoma;
- Simetria bilateral – Onde existe um único plano possível para separar em partes iguais. Exemplo: mamíferos como humanos e cachorros.

Alerta! É importante ressaltar que esse tipo de argumento de simetria acaba sendo confundido com a lei áurea e usado em discursos que defendem a existência de corpos com padrões de beleza. Ninguém, absolutamente ninguém, humano ou não, é perfeitamente simétrico. Inclusive, existem seres como os equinodermos que nascem com simetria bilateral e só depois de adultos possuem simetria radia. Não se cobre para ser simétrico. O nosso conjunto genético e o ambiente geram pressões para que sejamos diferentes até nos nossos eixos de simetria. Essa discussão é apenas teórica e imaginativa e não se reflete na realidade dos seres.

Apesar da diversidade da natureza tornar todas as criaturas especiais de uma forma ou de outra, é possível, de maneira teórica, ver padrões próximos ao encontrado na lei áurea em diversas estruturas com origem em seres vivos.
Pode ser encontrado de forma aproximada no homem (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), nas colmeias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem de crescimento na natureza.
Justamente por ser encontrado em estudos de crescimento, o número de ouro ganhou um status de “ideal”, sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. O fato de ser apoiado pela matemática é que o torna fascinante, mas também perigoso podendo reforçar padrões de beleza longe dos reais.

Favos de mel formados pelas abelhas em suas colméias são hexágonos formados por triângulos de Pitágoras que refletem a proporção áurea.

A sequência de Fibonacci corresponde às medidas dos lados dos quadrados que lembram a espiral logarítmica muito encontrada em formas da natureza como a do molusco náutico (Nautilus pompilius). No entanto, existe uma variedade de ângulos de crescimento de conchas de moluscos que podem ser diferentes da espiral áurea, apesar de lembrar elas.
Muitos animais e plantas possuem seus corpos com eixos de simetria em pentagrama, reproduzindo a lei áurea muitas vezes como equinodermos adultos (ouriços-do-mar, crinóides, estrelas-do-mar e bolachas-do-mar) e flores de muitas plantas.

Artes

Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Troia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro.
Obras da arquitetura clássica, como o Parthenon, templo dedicado a deusa Atena presente na Acrópole da cidade de Atenas, na Grécia, revelam o uso da razão áurea na busca de uma harmonia estética.

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face. Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.

Leonardo Da Vinci acreditava na perfeição da figura humana e considerava as medidas e o funcionamento do corpo humano como uma analogia das medidas e funcionamento do universo, todas conectadas pela proporção do número de ouro.

O número de ouro também está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.
É possível ver o retângulo de ouro em prédios como a catedral de Notre Dame e a sede da Organização das Nações Unidas (ONU).

A fachada da Catedral de Notre-Dame (Paris, França) é formada por retângulos de ouro.

A fachada do edifício da Sede das Nações Unidas (Nova Iorque, EUA) é formada por retângulos de ouro.

Bruxaria

Para mim, a proporção áurea é um dos grandes mistérios divinos que os matemáticos tiveram um vislumbre. Sem falar que mostra que ciência e religião quando conseguem atuar de forma complementar conseguem explicações muito mais belas e completas sobre o nosso mundo.
Ter conhecimento dessas formas geométricas sagradas te gera mais uma camada de conhecimento no seu arsenal simbólico para perceber o toque das divindades no seu dia a dia. Sem falar que pode ajudar muito ritualisticamente, solte a sua criatividade. Aqui darei alguns exemplos.
Saber que o pentagrama também tem essa camada de significado o torna ainda mais poderoso. Inclusive podendo ser por si só um altar poderoso. Ou buscar por flores que tenham esse formato de cinco pétalas para ser o centro do seu altar.
Você pode usar esses formatos mágicos para trabalhar com cristais, plantas ou animais que tenham uma conformação geométrica interna específica de acordo com a sua intenção.
Você pode construir templos, distribuir móveis, criar sigilos, mandalas ou distribuir os itens de um ritual sobre o seu altar utilizando esses formatos.
Inclusive você pode usar desses símbolos e formatos geométricos para consagrar instrumentos mágicos.